Die erste strenge Definition von fraktalen Dimensionen stellte Georg Cantor (1845 - 1918) um 1877. Georg Cantor ist heute vor allem für seine Arbeiten in der Mengenlehre und durch die nach ihm benannte Cantor-Menge bekannt. Der Begriff fraktale Dimension wurde erst in unserem Jahrhundert von dem Mathematiker Benoit Mandelbrot geprägt, wobei »fraktal« nichts anderes bedeutet als »gebrochen« oder »zersplittert«. Georg Cantors Problem, das ihn zum Thema der gebrochenen Dimension führen sollte, bestand aus nebenstehend beschriebener geometrischen Konstruktion.

Aus einem gegebenen Einheitsintervall wird das mittlere Drittel entfernt. Es bleiben das erste und dritte Drittel. Aus diesen zwei Dritteln wird nun wiederum der mittlere Teil entfernt, usw. Was bleibt ist schliesslich eine unendliche Menge unendlich kleiner Intervalle; also unendlich viele Punkte. Diese Punkte werden Cantor-Menge genannt.

Die Gesamtstrecke aller verbleibenden Punkte ist 0, da die einzelnen Punkte keine Länge haben. Da die Anzahl der Punkte jedoch unendlich ist, liegt die Dimension irgendwo zwischen 0 und 1. Es handelt sich hier um sogenannte höhere Unendlichkeiten, die nicht abzählbar sind oder besser als überabzählbar bezeichnet werden.