Die Kleinsche Flasche (benannt nach dem deutschen Mathematiker Felix Klein, 1849 - 1925) gehört sicherlich zu den interessantesten mathematischen Flächen.

Die dreidimensionale Kleinsche Flasche ist eine Erweiterung des zweidimensionalen Möbius-Bandes eingebettet in der vierten Dimensionen.

Es handelt sich um eine sogenannte nicht-orientierbare Fläche, das heisst "Innen" und "Aussen" können nicht voneinander unterschieden werden. Läuft man auf einer der Linien die Flasche entlang, so gelangt man ohne Übergang von Innen nach Aussen und umgekehrt.

Es ist nicht möglich die "Flasche" zum Beispiel mit Wein zu füllen, ohne diesen sofort wieder zu verschütten :-(

Ein Möbius-Band (benannt nach dem deutschen Mathematiker und Astronomen August Ferdinand Möbius, 1790-1868), ist ein langer, schmaler Papierstreifen, wobei ein Ende um 180° verdreht und mit dem anderen Ende wieder zusammengefügt wird.

Möbius-Bänder sind zweidimensionale nicht-orientierbare Flächen in der dritten Dimension. Es ist nicht möglich zu bestimmen, wo oben oder unten, innen oder aussen, rechts oder links ist.

Ein Möbius-Band besitzt es nur eine einzige Seite und nur eine Kante. Es gelingt z.B. nicht nur eine Seite anzumalen oder das Band der Länge nach in zwei Bänder zu zerschneiden. Noch verblüffender ist der Effekt, wenn man das Gebilde nach dem Durchschneiden noch einmal zerschneidt.

Echte Möbius-Bänder wurden in der Natur bisher noch nicht gefunden. Jedoch beschreibt die Stringtheorie kleine Möbius-Bänder im Raum- und Zeitgefüge. Ein "unechtes" Möbius-Band wurde von der Voyager-Sonde entdeckt, als Bestandteil des Saturnrings. Wie dieses sonderbare Gebilde zustande kam und für lange Zeit erhalten blieb, darüber rätseln die Astronomen noch heute.