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Fraktal   Mandelbrot Menge

Der französisch-amerikanische Mathematiker Benoit Mandelbrot (1924-2010) entdeckte bei der grafischen Darstellung komplexer Zahlenmengen neue grafische Strukturen, deren wesentliche Eigenschaft die sogenannte Selbstähnlichkeit ausmacht. Die bekannteste Struktur unter den Fraktalen ist die Mandelbrot Menge, die aufgrund ihrer Form auch als Apfelmännchen bezeichnet wird.

Zu jedem Punkt dieser Mandelbrot Menge gibt es eine entsprechende Julia-Menge. Die Mandelbrotmenge ist eine Beschreibungsmenge der Julia-Mengen quadratischer Polynome.

Das Auftreten fraktaler Strukturen als allgemeines Prinzip der Natur finden wir in Wolken, Bergen, sowie in Baum-, Ast und Blattstrukturen, aber auch bei Flüssigkeiten wie z.B. ein sich ausbreitender Ölfilm auf einer Wasseroberfläche.

 
Feigenbaum-Diagramm   Feigenbaum-Diagramm

Der amerikanische Physiker Mitchell Feigenbaum untersuchte in den 70er Jahren, wie sich eine Population über einen längeren Zeitraum für steigende Wachstumsfaktoren entwickeln würde. Das Ergebnis seiner Berechnungen war das Feigenbaum-Diagramm. Das Feigenbaum-Diagramm hat eine fraktale Dimension und weist die Eigenschaften der Selbstähnlichkeit und Symmetrie auf.

Beginnend mit einem Wachstumsfaktor von 1 verdoppelt sich die Periode bis zu einem bestimmten Punkt, den man den Feigenbaum-Punkt nennt. Es handelt sich um den Wert 3,5699456. Alle Werte über dem Feigenbaum-Punkt enden im Chaos.

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